A Global Formulation Of Lie Theory of Transformational by Palais, Richard

By Palais, Richard

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Example text

Ausf¨ uhrliches zu diesem Thema in Szab´o 1969, insb. S. 208ff. 7. Gibt es ein Paar nat¨ urlicher Zahlen m, n mit ma > nb und mc ≤ nd, so gilt per definitionem a : b > c : d. Hier m¨ usste man nun beweisen, dass nicht gleichzeitig auch c : d > a : b sein kann und dass die Relation > transitiv ist, das heißt, dass aus a : b > c : d und c : d > e : f stets auch a : b > e : f folgt. Euklid ¨ tut dies nicht und auch ich u ¨berlasse dies dem Leser als Ubungsaufgabe. 8. Die k¨ urzeste Proportion ist a : b = b : c.

Wegen X, ange Y = Q+ gibt es Elemente s ∈ Q+ − X und t ∈ Q+ − Y . Weil X und Y Anf¨ sind, ist s ∈ Ma(X) und t ∈ Ma(Y ). Es folgt s + t ∈ Ma(X + Y ) und damit X ⊕ Y ⊆ α(s + t). Wegen s + t < s + t + 1 ist α(s + t) = Q+ und damit X ⊕ Y = Q+ . Wegen τ (X ⊕ Y ) = τ τ (X + Y ) = τ (X + Y ) = X ⊕ Y ist X ⊕ Y schließlich ein normaler Anfang, so dass X ⊕ Y ∈ R+ ist. 2. Dedekindsche Schnitte 17 a) Es ist X ⊕ Y = τ (X + Y ) = τ (Y + X) = Y ⊕ X. Also ist ⊕ kommutativ. Es seien X, Y , Z ∈ R+ . Wir setzen L := X ⊕ (Y ⊕ Z), und R := (X ⊕ Y ) ⊕ Z und M := τ (X + Y + Z).

28 Kapitel I. 4. Es seien P und Q Gr¨ oßenbereiche. Ferner seien a, b ∈ P , c, d ∈ Q und k, l ∈ N. Ist a : b = c : d, so ist auch ka : lb = kc : ld. Beweis. Setze e := ka, g := lb, f := kc und h := ld. Es ist zu zeigen, dass e : g = f : h ist. 3 folgt me = m(ka) = (mk)a mf = m(kc) = (mk)c ng = n(lb) = (nl)b nh = n(ld) = (nl)d. Ist nun me > ng, so ist (mk)a > (nl)b und wegen a : b = c : d daher (mk)c > (nl)d also mf > nh, etc. 5. Es sei P ein Gr¨ oßenbereich. Ferner seien a, b, c, a , b , c ∈ P und k ∈ N.

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