# An introduction to Advanced Field Theory by Barton G.

By Barton G.

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Das Uberraschende Martingal V: X* ~ R + wesentlich bar voraussetzt. fGr V(xO): = ~(xl) = 2 V(x) > v(~o) 55 deren atgorithmi- ist. 5) Ein MartingaL V: X* ~ R + ist ein (1)-Test, wenn es elne rekursive Funktion g: N x X* ~ q gibt mit tim g(i,x) i = V(x) fur atle x ~ X*. ~V = [z E X = def I ~ T ~ V(z(n)) n = =]ist die Menge der Folgen, die den (1)-Test V nlcht bestehen. Eine Fotge z E X ~ heine steht. Wir zeigen, Zuf~lLigkeit (1)-zuf~llig, dab (1)-Zuf~lligkeit im Sinne von MARTIN-L~F. wenn sie jeden (1)-Test bewesenttich Offensichtlich rechenbare Martlngat V: X* - R + ein (1)-Test.

I Sel b e i n e rationale Zahl mit V(A) - a/2 ~ b ~ V(A). Die Folge z kon- struieren wir rekursiv wie fotgt: Angenommen, z(n) sei bereits so konstruiert, da B n V(z(±)) ~ b + a ~ 2 -j-S j=O (i • n) erf~tlt ist. ) Aus der Induktionsvoraussetzung foLgt, dab es ein x E X gibt mit n V(z(n)x) ~ b + a ~ 2 -S-I. j=O Demnach kann man auf effektive Weise ein i E N und ein x E X bestimmen, so dab g(i,z(n)x) n+1 ~ b + a ~ 2 -j-1 j=O Wir definieren z(n+1) = z(n)x. d. 2): Sei (viii E N) eine Aufz~hlung alter (O)-Tests mit VI(A) ~ I.

5) Die Men~e ~ yon Auswah~regeln sei abgeschlossen ge~enGber Komposition. Dann ist ~(~,W) die ~rS~te Menge M ~ X ~ mit T" n (2) = i=1 ~(M N D(~)) ~ M fur al~e ~ ~ ~. Der Beweis ist trivial. 2) glaubte man, der Charakterisierung der Ko~lektive einen wesent~ichen Schritt. n~hergekommen zu sein. CHURCH [ 6 ] sch~ug vor, die aufz~h~bar vie~en, mS,lichen Auswah~re~e~n als die rekursiven Auswahlregeln zu spezifizieren. Dabei heist elne Auswah~rege~ ~ rekursiv, wenn die Funktion ~: X* ~ [0,1} rekursiv ist (zu "rekursiv" siehe [10,17,19 ] ).