# Calcul Stochastique et Problèmes de Martingales, 1st Edition by Jean Jacod (auth.)

By Jean Jacod (auth.)

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M2 et d'apr~s le lemme So ~2 M e ~ ; enfin N~co • Alors [M,N]~A et MN-[M,N]gH=I ° . de 36 D@momstration. 21) ilIMIII=~Mao~ 2 dans le cas od si U(n)[Tn] n%M E([M'M]co) et et que est pr@visible, AN=~M de l'espace N(n)I(M-N(n)). ~, , N(n) : mais alors : E(ao) = DIMC~I2 + Z(n)UlN(n)BI 2 E([M,M] T) M 2- [M,M]~ M ° n ~ l ). Donc si + C(n)~ =A et et la d6finition [ M , M ] E A = + . En arr~tant = M T ~ T _- ~IMT~ 2 Enfin, est en fait une martingale + [(n) en = on montre de n>~O . D'aon volt que et H__2 .

Mais sur les applications de ces int~grales. d~mesur~ment le texte, tains th6or~mes difficiles, la litt6rature: ~otamment mais "bien d61imit6s" et ais&s ~ trouver dans diverses in6galit~s, BM=O , et la formule de changement ~oyons aux "commentaires" sid6rable, Voulant nous allons donc admettre cer- de variable la dualit6 entre (formule pour des indications HI et d'Ito). Nous ren- sur la bibliographie, con- sur ce sujet. En ce qui concerne dans le chapitre l'objet de ce chapitre, I des int~grales n,s ou localement born~s) remarquons que sont apparues de Stieltjes-Lebesgue de processus par rapport A des processus A variation un autre pan (compl6mentaire) de la "theorie g&n6rale siste ~ definir et A utiliser des int~grales, (hor- £inie; des processus" con- dites "stochastiques", par rapport aux martingales.

2}); il faut et Te T on ait et soit A £ P= et M M @gale si Z ~bF~ Mais si [2]. croissants "na- croissants natu- I1 s'agit d'une et des martingales. m A partir de que cette quantit~ R~ciproquement, Z ( ~ ) I { t < u } o~ P AeP~_A + on a o~ a de A M ±n = E(M ~AT) . turels" au sens de Meyer PM=M_ Pour que positif ~ A~ A + . (~) d~coule An lim(n)~E(MTnATn) quand est celle qui caract&rise rels et pr~visibles Supposons M , donc yt(~) = M le r~sultat il suffit que pour tout &l~ment E(MTA T) = E(MoA O) + E ( M de le r~sultat est le proeessus M[(Y) = E ( M (I • 47) PROPOSITION: In de martingale positif d'apr~s de M .